Differential und Natur

Die Metaphysik des Begriffs der Differentialänderung, die streng logische Begründung der Differentialeinheit führt zu unlösbaren Widersprüchen, jedoch nicht zu anderen Widersprüchen, als zu denen auch die logische Begründung der woblbekannten Einheit, der Eins unserer Zahlenreihe, führen mußte. Wollen wir unserem Ziele näher kommen, der Frage nach dem Wesen der Zahl, und darum zunächst den Zahlenaberglauben unserer Tage durchschauen, so müssen wir die Metaphysik des Differentialbegriffs preisgeben und ihn daraufhin betrachten, was seine rechnerische Anwendung, abgesehen von den selbstherrlichen Scharfsinnigkeiten der höchsten Mathematik, zur Erkenntnis der Wirklichkeitswelt beiträgt. Und da scheint es mir doch richtig, dass alles ältere Rechnen nur die Größenverhältnisse der Natur vergleichen, das heißt ihre relativen Quantitäten bestimmen konnte, während der Begriff der Differentialänderung ein Symbol ist dieser Verhältnisse oder Quantitäten selbst und damit der erste Versuch, den Qualitäten der Wirklichkeit erkenntnistheoretisch beizukommen. Das läßt sich sogar auf die einfachsten Probleme der Differentialrechnung ausdehnen. Als Archimedes sich mit der Quadratur von Kegelschnitten beschäftigte, wollte er nur ihr relatives Verhältnis zu bequemer ausmeßbaren Flächen bestimmen; die Differentialrechnung sagt von den Kegelschnitten, wie sie durch Bewegung entstehen, also wie sie sind. Auch die alte Geometrie erzählte in ihrer Weise, wie Kegelschnitte für unser Auge gemacht werden können; aber sie ahnte nicht, wie sie an sich entstehen. Auf dem Gebiete der Mechanik und der Chemie hat es die Differentialrechnung eigentlich immer nur mit Qualitäten zu tun, und der ungeheure Fortschritt unserer Zeit über das Altertum besteht eben darin, dass es zuerst in der Mechanik, dann allmählich auch in der Chemie gelungen ist, Qualitäten durch relative Quantitäten auszudrücken. Zuletzt muß freilich immer die bestimmte Zahl heran; aber der Hinblick auf die Differentialänderung muß es jedem klaren Kopfe unabweislich machen, dass in den bestimmten Zahlen nur Symbole von Relativitäten vorhanden sind, so gut wie in der Differentialrechnung die Null zur relativen Größe wird und das unendlich kleine Dreieck, das wir uns für das Verständnis des Tangentenproblems vorstellen müssen, in seinen drei Seiten drei Nullen von bestimmter Relation bietet.

In der Phantasie oder Theorie befreit uns der Differentialbegriff von der konventionellen Einheit, die es in der Natur nicht gibt; in der Phantasie oder Theorie dringt das Differential unmittelbar in die Natur ein und schafft ein Korrelat zum Tätigkeitsbegriff, zur Bewegung, wofür wir sonst (wie wir gesehen) keine Worte haben. Nur metaphorisch aber leistet das Differential diesen Dienst, und darum durfte ich eben Theorie und Phantasie gleich setzen. In der Praxis ist das Differential nur ein feineres Instrument als die Ziffer, schafft es nur eine kleinere Einheit. Für eine bestimmte Dynamo ist (weil E d t = C sin α d α)

E t = 2 C _o∫^π sin α d α = 4 C

und endlich

E = 4 C n, weil n (Tourenzahl) = ¹/_t  ist.

Für die in dieser Formel nicht ausgedrückte Zahl der Spulen ist die diskrete Zahl das unmittelbare Zeichen; für die fließende Bewegung der Spulen und das Kraftanwachsen und -nachlassen im Feld ist die alte "Fluxion" ein besseres Bild als die Zahlenrechnung, aber doch nur ein Bild; im Resultat fehlt das Bild, mit dem der Elektrotechniker nicht das kleinste Licht anzünden könnte; auch für t (die Zeit) wäre das Differential so ein Bild, wenn wir nur wüßten, ob das Bild von etwas Wirklichem oder das Bild von einem Bilde.

Will ich versuchen, mit schwierigster Nüchternheit deutlich zu machen, was ich eben in großen Zügen und dann durch ein Beispiel darstellte, so muß ich es wagen, zwischen dem Differential und dem Differentialbegriff zu unterscheiden. Diese ganze Untersuchung will den Nachweis bringen, dass Zahlen nicht Begriffe sind wie andere Worte. Nun, das Differential ist etwas mehr als ein Begriff und als eine Zahl, Weil wir die Relationen der Naturvorgänge besser durch Differentiale auffassen können als durch Begriffe oder benannte Zahlen; der Differentialbegriff des Kalküls jedoch ist noch weniger als ein anderer Begriff, weil er eingestandenermaßen ein Hilfsbegriff ist. Die Rechnung stimmt immer erst, wenn der Differentialbegriff aus ihr herausgeschafft ist. Dies wird klar gemacht in Carnots "Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal". Nicht die Kleinheit des Differentials ist das Wesentliche, sondern die Möglichkeit, es immer kleiner werden zu lassen, so klein, als man irgend will. Der Kalkül ist aber erst fertig, stimmt erst, wenn der unbestimmte Hilfsbegriff wieder herausgeschafft ist. Man begeht zunächst einen winzigen Fehler, um ihn nachher verschwinden zu lassen. Die Hilfsgröße des Differentials ist nicht infiniment petife, sondern indefmiment petite (S. 28).

Wenn ich mir dennoch erlaube, gegen die meisterhafte kleine Schrift Carnots etwas einzuwenden, so gehe ich natürlich von meiner sprachkritischen Behauptung aus, dass die Zahlzeichen nicht Worte sind wie andere Worte, sondern gewissermaßen Beispiele für die Zählung der Einheiten. (Auch das höchste Rechnen ist ökonomisches Zählen von Einheiten.) Das Differential steht der Naturwirklichkeit näher als die Zahl, also noch viel näher als das Wort. Als Wort hätte es keine Stelle im Kalkül. Ich bemerke dazu, dass mein Gedanke, Zahlzeichen seien Beispiele und nicht Worte, vielleicht Unterstützung erfährt durch mehrfache Versuche, die Form der sogenannten arabischen Ziffern auf die Anzahl ihrer Striche zurückzuführen (z. B. )

Nun gibt Carnot in einem Anhang einen Beleg zu seiner Behauptung, dass die Grundlagen der Algebra noch schwieriger zu begreifen und zu beweisen seien als die Grundlagen der Differentialrechnung. Er beruft sich auf das Zeichen —, das nur als Subtraktionszeichen klar sei, als Negationszeichen jedoch zu subtilen Widersprüchen führe und abstrakteste Vorstellungen von Raum und Bewegung voraussetze (137ff.). Seine Darstellung hat die köstliche Nettigkeit französischer Mathematiker. Ich muß aber dagegen sagen, dass die Negation kein mathematischer Begriff ist, sondern ein logischer, keine Zahl, sondern ein Wort. Ein modus loquendi, meinetwegen auch scribendi, der jedesmal die rein mathematische Formel schon in Sprache übersetzt. In der analytischen Geometrie kann darum durch Deuten von + und —, von > und < manches wichtige Resultat ohne Rechnen gewonnen werden, durch bloße Übersetzung der Formel in die andere Sprache. Die Vergleichung des Differentials mit dem Negationszeichen ist falsch, weil "—" ein Begriff, ein Wort ist.

Vielleicht darf ich auf eine andere Ähnlichkeit hinweisen, die mir übersehen worden zu sein scheint. Eine ähnliche Revolution wie die Differentialrechnung mag vor rund tausend Jahren der neue Algorithmus mit der Null bewirkt haben. Auch die Null ist ein Zahlzeichen, abgesehen davon, dass sie ein Begriff ist. Auch die Null verschwindet (sachlich, wenn auch nicht formell) aus dem Resultat, nachdem sie als Hilfsgröße im Kalkül war. Auch die Null führt theoretisch zu Widersprüchen und Sophismen (%), dient aber praktisch zur Vereinfachung des Rechnens mit mehrstelligen Zahlen. Sollte nach einigen hundert Jahren die Differentialrechnung so geläufig werden, wie die Nullrechnung uns nach langem Kampfe geworden ist, so müßte sich das Menschengehirn differenziert und weiter entwickelt haben, wie es sich wohl einst durch den Sieg der Nullrechnung differenziert und weiter entwickelt hat.