3. Die philosophischen Grundlagen der Mathematik

So sehen wir denn auch, wie er in seinen ersten Schriften gerade diese als Musterbild aller Gewißheit verehrt, und zwar zunächst die Arithmetik. »Die Zahl ist gewissermaßen eine metaphysische Grundgestalt und die Arithmetik eine Art Statik des Universums, in der sich die Kräfte der Dinge enthüllen.« Die Algebra ist daher auch nur eine Unterart jener allgemeinen »kombinatorischen Kunst« (s. oben unter Nr. 1), von deren Regeln sie darum auch fortwährend Gebrauch macht. Allein je tiefer Leibniz, namentlich während seines vierjährigen Pariser Aufenthaltes im Verkehr mit Huyghens, auch in andere Zweige der mathematischen Wissenschaft, z.B. die Geometrie, eindrang, desto mehr sah er ein, dass er gegen seinen eigenen Grundsatz der Zurückführung aller Begriffe auf ihre eigensten Elemente handle, wenn er die Geometrie der Arithmetik, die Figur der Zahl unterordne. So legt er ihr jetzt nicht mehr den arithmetischen Begriff der Größe, sondern einen neuen »von der algebraischen Berechnungsart gänzlich verschiedenen Kalkul« zugrunde: die Analysis der Lage, in der die Lageverhältnisse »geradeswegs und unmittelbar zur Darstellung gebracht, die Figuren, auch ohne wirklich gezeichnet zu werden, symbolisch ausgedrückt werden«. Das einfachste geometrische Element aber ist der Punkt. Und so stellt sich uns jedes geometrische Gebilde zunächst als ein Beisammen von Punkten dar, die durch eine gemeinsame Regel vereint und zusammengehalten sind. Den Entwurf einer solchen neuen »geometrischen Charakteristik« übersandte er Huyghens im September 1679. - Auch ohne dass wir uns weiter (wozu hier nicht der Platz) auf mathematische Einzelanwendungen einlassen, läßt sich Leibniz' allgemeine Methode der Zurückführung alles Mathematischen auf letzte gemeinsame philosophische Grundlagen gut verstehen aus der seinen letzten Lebensjahren entstammenden und trotz ihres Titels allgemeinverständlichen Schrift Metaphysische Anfangsgründe der Mathematik. Hier werden alle wichtigeren mathematischen Grundbegriffe in einer Reihe klarer und knapper Definitionen bestimmt, von denen wir die philosophisch interessantesten hervorheben. Die Zeit wird erklärt als die Ordnung des Nicht-zugleich-Existierenden, folglich aller Veränderungen; ihre Größe heißt Dauer. Der Raum ist die Ordnung des Koexistierenden, seine Größe heißt Ausdehnung. Die Quantität oder Größe läßt sich nur bei gleichzeitigem Beisammensein bezw. gleichzeitiger Wahrnehmung verschiedener Dinge erkennen, die Qualität dagegen auch an einzelnen Dingen, die man für sich genommen betrachtet. Was dieselbe Quantität besitzt, ist gleich; was dieselbe Qualität, ähnlich. In derselben Weise werden weiter die Begriffe der Bewegung, des Weges, der Stelle, der Linie, der Fläche, der Dimension, des Punktes, der Ebene, des absoluten Raumes u.a.m. erklärt. Durch kontinuierliche Veränderung können Augenblick und Zeit, Punkt und Raum ineinander übergehen.

Damit ist ein neues wichtiges, von Leibniz, wie er sich rühmt, zuerst aufgestelltes Prinzip genannt: das schon in einer Sonderabhandlung von 1687 von ihm behandelte Prinzip der Kontinuität oder Stetigkeit. Nichts in der Natur vollzieht sich sprungweise, sondern alles nur in unmerklichen Übergängen, und dieser fest geregelten Ordnung des Gegebenen (Bedingten) entspricht auch eine ebenso fest geregelte Ordnung des Gesuchten (der Bedingungen). Vermöge des Kontinuitätsgesetzes ist die Ruhe nur ein besonderer Fall der Bewegung, die Gleichheit ein solcher der Ungleichheit, das Krumme des Geraden usw. Und wie dies Gesetz in der Geometrie von unbedingter Notwendigkeit ist, so bewährt es sich auch als allgemeines Ordnungsprinzip der Physik, ja der göttlichen Weltharmonie überhaupt. In engster Verbindung mit dem Stetigkeitsgesetz und der daraus folgenden Auffassung des Unendlich-Kleinen steht Leibniz' große Entdeckung der Infinitesimalrechnung, die indes hier nicht näher verfolgt werden kann (Über ihre erkenntniskritische Bedeutung vgl. H. Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883, über Leibniz speziell s. S. 42 ff.). Auch sie ist nur eine neue, fruchtbare Durchführung jener universellen Analysis, mit deren Forderung wir unseren Philosophen beginnen sahen; sie entspringt deshalb in Wahrheit dem »Innersten Quell« seiner Philosophie.